星期二男孩的另一个等价描述

之前讨论过星期二男孩问题:一个人有两个小孩,其中有一个是生于星期二的男孩儿,问另一个是男孩儿的概率是多少?

在前面的帖子中,我曾经写过一个这个问题的等价描述,不过现在觉得那个等价描述还是太复杂了,其实还能写得更简单更容易一些。

我们先来看这样一个题目:

有两个质地均匀的骰子,每个骰子有六个面,上面分别标有 1 ~ 6 的数字,掷一个骰子时,哪个数字朝上是完全随机的,每个数字朝上的概率都是 1/6。现在,你掷了这两个骰子(注意,可以是先后掷,也可以是一起掷,这儿先后顺序是无关的),发现其中一个骰子朝上一面是 2,问:另一个骰子朝上一面的数字是偶数的概率是多少?

这个题目很简单,简单到我们可以罗列出所有可能性,如下表:

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

每个格子中的两个数字分别代表两个骰子朝上的面上的数字。其中一个数字是 2 的项位于第二行和第二列,即表格中添加阴影的部分,可以看到,一共有 11 种组合。而其中另一个数字也是偶数的项用粗体字标出了,可以看到,一共有 5 种可能的组合。所以,总的概率为 5/11 。

我们再把这个题中的数字改大一点,比如把有六个面的骰子改成有 14 个选项的转盘会怎么样?——有两个转盘,每个转盘被等分为 14 个部分,上面分别标有 1 ~ 14 的数字,转盘转动并停止时,停在每个数字上的概率都为 1/14。现在转动两个转盘,停止后,发现其中一个转盘的数字为 4,问另一个转盘上的数字为偶数的概率。

和上面掷骰子类似,我们可以得到下面的表格:

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9,1 10,1 11,1 12,1 13,1 14,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8,2 9,2 10,2 11,2 12,2 13,2 14,2
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 7,3 8,3 9,3 10,3 11,3 12,3 13,3 14,3
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 7,4 8,4 9,4 10,4 11,4 12,4 13,4 14,4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 7,6 8,6 9,6 10,6 11,6 12,6 13,6 14,6
1,7 2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 7,7 8,7 9,7 10,7 11,7 12,7 13,7 14,7
1,8 2,8 3,8 4,8 5,8 6,8 7,8 8,8 9,8 10,8 11,8 12,8 13,8 14,8
1,9 2,9 3,9 4,9 5,9 6,9 7,9 8,9 9,9 10,9 11,9 12,9 13,9 14,9
1,10 2,10 3,10 4,10 5,10 6,10 7,10 8,10 9,10 10,10 11,10 12,10 13,10 14,10
1,11 2,11 3,11 4,11 5,11 6,11 7,11 8,11 9,11 10,11 11,11 12,11 13,11 14,11
1,12 2,12 3,12 4,12 5,12 6,12 7,12 8,12 9,12 10,12 11,12 12,12 13,12 14,12
1,13 2,13 3,13 4,13 5,13 6,13 7,13 8,13 9,13 10,13 11,13 12,13 13,13 14,13
1,14 2,14 3,14 4,14 5,14 6,14 7,14 8,14 9,14 10,14 11,14 12,14 13,14 14,14

可以看到,其中一个数字为 4 ,另一个数字也是偶数的概率为 13/27。注意到,这个数字和星期二男孩问题的答案一样。

那么,这个问题和星期二问题有什么关系吗?为什么再者的答案一样呢?事实上,14 个数字的转盘问题,就是星期二男孩问题的一个等价描述。要将转盘问题转换为星期二男孩问题,我们只需要做以下的映射即可:

转盘数字为奇数 -> 女孩;
转盘数字为偶数 -> 男孩;
(转盘数字 + 1) / 2 取整 -> 星期几;

于是,我们得到了星期二男孩的又一个更容易理解的等价描述:

有两个转盘,每个转盘被等分为 14 个部分,上面分别标有 1 ~ 14 的数字,转盘转动并停止时,停在每个数字上的概率都为 1/14。现在转动两个转盘,停止后,发现其中一个转盘的数字为 4,问另一个转盘上的数字为偶数的概率。

5 Replies to “星期二男孩的另一个等价描述”

  1. 两个骰子,一个是2,另一个为偶数的概率是多少?这两个骰子是有关联的吗?第二个骰子每一面的概率不是1/6了吗?答案为啥不是1/2。?!

    1. 两个骰子相互之间是独立的。不过需要注意,题目中说的是“其中一个”是2,而不是说“第一个”是2,就是说,有可能是第一个骰子的数字是2,也可能第二个骰子的数字是2。

      如果已知“第一个”骰子的数字是2,问“第二个”骰子是偶数的概率,那就是1/2了。

  2. 假设第1个孩子是星期二的男孩,那么第二个孩子不是星期二出生的男孩有C16种可能。第二个孩子不是星期二出生的女孩有C16种可能。第二个孩子是星期二出生,并且是女孩的有1种可能。第二个孩子是星期二出生的男孩有1种可能。反之假设第二个孩子是星期二出生的男孩,得到相同的可能。因此有如下公式(C12*C16+1)/(C12*C16*C12+C12+1) = 13/27

发表评论

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 更改 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 更改 )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 更改 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 更改 )

Connecting to %s