一道无穷个 x 乘方的数学题

最近偶然看到一道数学题

已知:

$$x^{x^{x^{x^{…}}}}=2$$

x 的值是多少?

即无穷个 x 的乘方,值为 2,求 x 。数学中凡是涉及无穷的题目都需要特别小心,因为在无穷的世界有很多事情与我们通常的直觉不符。

简单解答

无穷个变量的乘方,乍一看似乎很难下手。但这一题却正好有一个简单的解法,步骤如下:

$$\text{令}\quad y=x^{x^{x^{x^{…}}}} \tag{1}$$

这时,算式 x^y 的值是什么呢?注意到原式子左边的 x 有无穷多个,于是有:

$$x^y=x^{x^{x^{x^{…}}}}=y \tag{2}$$

即:

$$x^y=y$$

$$x=y^{\frac{1}{y}} \tag{3}$$

又根据原题,有 y=2,即有:

$$x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$$

这个值即是方程的解。我们甚至可以写计算机程序验证一下,会发现将 x=\sqrt{2} 代入原方程,迭代多次之后,结果的确是在向 2 收敛。

进一步探讨

上面的解答看起来很完美,似乎无懈可击,而且似乎暗示着无论 y 的值是什么,都可以这么简单地解出来。

真的是这样吗?

如果 y 更大一些,会是什么结果呢?比如下面的方程的解是什么?

$$x^{x^{x^{x^{…}}}}=4$$

按上面的步骤,我们很容易就能得到:

$$x^4=4$$

进而解得:

$$x=\sqrt{2}$$

结果和最初的方程(即 y=2 时)是一样的!这显然不可能,一定是哪里错了。

注意上面的算式 (1) 以及算式 (2),这儿其实是有一个隐含的前提,即 y 的值是有限的,只有当 y 是一个有限的数的时候,我们才能计算 x^y 的值,才能有上面的算式 (2) 到 (3) 的转换。

再考查上面的等式 (3),将它的变量名调整一下,等式 (3) 相当于:

$$f(x)=x^{\frac{1}{x}} \tag{4}$$

对上式求导,有:

$$f(x)’=x^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right) \tag{5}$$

可以看到,当 x < e 时,等式 (5) 的值大于 0,即函数 (4) 的值单调递增;当 x = e 时,等式 (5) 的值等于 0,即函数 (4) 的值达到最大;当 x > e 时,等式 (5) 的值小于 0,即函数 (4) 的值单调递减。

x = e 代入函数 (4),可得函数 f(x) 的最大值为 e^{\frac{1}{e}},即等式 (3) 中 x 的最大值为 e^{\frac{1}{e}}y 的最大值为 e

也就是说,如果方程 (1) 有解,那么 y 的值不能超过数学常数 e(2.71828182845…),或者 x 的值不能超过 e^{\frac{1}{e}}(1.444667861…)。事实上我们不难验证,如果 x > e^{\frac{1}{e}},那么 x^{x^{x^{x^{...}}}} 就会发散至无穷大。

另外,上面的计算都是在实数范围内,如果 xy 小于 0,则可能出现虚数,就又是一个复杂的问题了。

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